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# [166] Fraction To Recurring Decimal
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## 題目資訊
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- **難度**: Medium
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- **標籤**: Hash Table, Math, Simulation
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- **題目連結**: https://leetcode.com/problems/fraction-to-recurring-decimal/
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- **練習日期**: 2025-09-24
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- **目標複雜度**: 時間 O(L)、空間 O(L)（L 為輸出字串長度，最多 10^4）
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## 題目描述
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Given two integers representing the `numerator` and `denominator` of a fraction, return *the fraction* in string format.
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If the fractional part is repeating, enclose the repeating part in parentheses.
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If multiple answers are possible, return **any of them**.
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It is **guaranteed** that the length of the answer string is less than `10^4` for all the given inputs.
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## 先備條件與限制
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- 輸入限制：`-2^31 <= numerator, denominator <= 2^31 - 1`，且 denominator ≠ 0
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- 回傳/輸出格式：回傳十進位字串；有限小數直接輸出，小數有循環時用括號標記循環段
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- 其他：允許使用 64-bit 以避免在取絕對值時溢位
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## 解題思路
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### 初步分析
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- 類型：數學 / 模擬 / 哈希
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- 關鍵觀察：整數除法僅靠餘數決定下一個小數位；相同餘數必定導致循環，位置可透過哈希表還原
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- 複雜度目標理由：每個餘數最多處理一次，因此時間與空間成正比於輸出長度 L
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### 解法比較
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1. 解法A：餘數位置哈希
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- 思路：先處理正負號並計算整數部分；對小數部分反覆以 10 乘上餘數取商，並在 map 中紀錄餘數首次出現的索引，一旦重複即可插入括號
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- 正確性：每個可能的餘數介於 0 與 |denominator|-1，重複時即代表循環節開始，未重複則最後餘數為 0（有限小數）
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- 複雜度：時間 O(L) / 空間 O(L)
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## 實作細節
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- 先處理 `numerator == 0` 直接回傳 "0"
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- 判斷結果正負號，使用 `long`/`long long` 取絕對值避免 `INT_MIN` 無法轉正的問題
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- `integer_part = abs_num / abs_den` 直接加入結果，小數部分以餘數 `remainder = abs_num % abs_den` 開始
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- 使用字典 `remainder -> index` 紀錄餘數在結果字串中的位置；迴圈內：餘數乘 10，取下一位商並更新餘數
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- 若餘數為 0，表示小數結束，不需括號；若餘數再度出現，在對應索引插入 `(`，在結尾加 `)`
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## 常見陷阱
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- 處理負數：符號只出現一次，判斷後用 64-bit 絕對值繼續運算避免 `--6...` 之類錯誤
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- `INT_MIN / -1` 可能溢位：需先轉成 64-bit 再做除法與取餘數
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- 餘數 map 要記錄的是「餘數出現時的輸出索引」，找到重複時要在該位置插入 `(`
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- 每回合先檢查餘數是否重複再乘 10，避免多插一位或落掉循環起點
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- `numerator` 為 0 時無小數部分，直接回傳 "0"
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## 測試案例
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### 範例輸入輸出
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Input: numerator = 4, denominator = 333
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Output: "0.(012)"
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### 邊界清單
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- `numerator = 1, denominator = 2` → `"0.5"`（有限小數）
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- `numerator = 1, denominator = 6` → `"0.1(6)"`（循環節不從第一位開始）
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- `numerator = -50, denominator = 8` → `"-6.25"`（負數與有限小數）
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- `numerator = 0, denominator = 5` → `"0"`（整數結果）
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- `numerator = 1, denominator = 7` → `"0.(142857)"`（較長的循環節）
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## 複雜度分析
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- 最壞：時間 O(L)、空間 O(L)
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- L 為輸出字串長度，等同於需要處理的餘數數量上限（題目保證 < 10^4）
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## 相關題目 / Follow-up
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- 與任一進位制的循環小數檢測（如 base conversion）類似，可類比餘數循環檢測技巧
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## 學習筆記
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- 今天學到：餘數 → 索引的哈希表能精準標記循環段，搭配 `StringBuilder.Insert` 可快速加括號
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- 卡住與修正：`int.MinValue` 轉正時會拋例外，改用 `long` 做完整流程（含乘 10 與取餘）就穩定
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- 另外注意：符號在輸出開頭先處理，整數和小數部分都用正數運算可避免重複符號
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- 待優化：可以先行預估非循環長度以減少插入成本，但對此題影響不大
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**總結**：這題的核心在於以餘數哈希判斷循環節，適合練習小數表示與溢位處理。
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