# [2749] Minimum Operations To Make The Integer Zero

## 題目資訊
- **難度**: Medium
- **標籤**: Bit Manipulation, Brainteaser, Enumeration
- **題目連結**: [LeetCode](https://leetcode.com/problems/minimum-operations-to-make-the-integer-zero/)
- **練習日期**: 2025-09-05

## 題目描述
You are given two integers `num1` and `num2`.

In one operation, you can choose integer i in the range `[0, 60]` and subtract `2^i + num2` from `num1`.

Return the integer denoting the *minimum* number of operations needed to make `num1` equal to `0`.

If it is impossible to make `num1` equal to `0`, return `-1`.

## 解題思路

### 初步分析
- 這題主要考察什麼概念？
   1. 位元操作 (Bit Manipulation)：需要理解二進制表示和位元運算
   2. 數學建模：將實際問題轉換為數學等式
   3. 枚舉 (Enumeration)：嘗試不同的操作次數 k
   4. 約束條件判斷：理解多個限制條件的邏輯關係
- 有什麼關鍵限制條件？
   1. target ≥ 0
   2. bitCount(target) ≤ k
   3. k ≤ target
- 預期時間/空間複雜度？
   - 時間複雜度：O(60 × log(target)) ≈ O(1)
   - 空間複雜度：O(1)

### 解法概述
1. **解法**: 
   - 思路：
      - 目標：讓 num1 變成 0
      -  每次操作：num1 = num1 - (2^i + num2)
      - k 次操作後：num1 - k*num2 - (2^i1 + 2^i2 + ... + 2^ik) = 0
      - 重新整理：target = num1 - k*num2 = 2^i1 + 2^i2 + ... + 2^ik
   - 時間複雜度：O(1)
   - 空間複雜度：O(1)

## 測試案例

### 範例輸入輸出
```
Input: num1 = 3, num2 = -2
Output: 3
Explanation: 
We can make 3 equal to 0 with the following operations:
- We choose i = 2 and subtract 22 + (-2) from 3, 3 - (4 + (-2)) = 1.
- We choose i = 2 and subtract 22 + (-2) from 1, 1 - (4 + (-2)) = -1.
- We choose i = 0 and subtract 20 + (-2) from -1, (-1) - (1 + (-2)) = 0.
It can be proven, that 3 is the minimum number of operations that we need to perform.
```

### 邊界情況
 - `1 <= num1 <= 10^9`
 - `-10^9 <= num2 <= 10^9`

## 學習筆記

### 今天學到什麼？
- 二位元的操作寫法

### 遇到的困難
- 二位元的操作
   1. 方法一: 逐位檢查法
      - 程式碼：
      ``` C#
      count += (int)(n & 1);
      n >>= 1;
      ```
      - 運作原理：
         1. n & 1：檢查最右邊的位元是否為 1
         2. count += (int)(n & 1)：如果是 1 就加到計數器
         3. n >>= 1：把 n 右移一位（去掉已檢查的位元）
         4. 重複直到 n 變成 0
   2. 方法二: 移除最右邊 1
      - 程式碼：
      ``` C#
      count++;
      n &= n - 1;
      ```
      - 運作原理：
         1. n - 1：讓最右邊的 1 變成 0，其右邊的 0 都變成 1
         2. n & (n - 1)：神奇地移除了最右邊的 1
         3. count++：每移除一個 1，計數器就加 1
         4. 重複直到 n 變成 0

### 改善方向
- 

### 相關題目
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**總結**:
1. 學習二位元的使用技巧